¿Cómo analizar circuitos por el teorema de superposición?

¿Cómo analizar circuitos por el teorema de superposición?
Juan Carlos G2020-10-03

Hola amigo, hoy quiero platicarte acerca del teorema de la superposición, el cual tiene una gran aplicación y utilidad al momento de analizar circuitos, ya que nos permite conocer el comportamiento de la corriente y el voltaje en un circuito de dos o más fuentes de alimentación. Ya lo veremos con calma más adelante.

El objetivo de este pequeño tutorial (que más que tutorial, es una clase) es que logres aplicar de manera exitosa tanto la teoría como la práctica cuando te encuentres con problemas de este tema.

 

 

¿Qué es el teorema de la superposición?

Para entender como el teorema de la superposición tiene efecto en los circuitos eléctricos, necesitas comprender primero lo que nos permite realizar este principio, así que, primero veamos qué es.

El principio de superposición es una herramienta matemática que nos permite realizar la descomposición de un problema lineal en dos o más problemas más pequeños y más sencillos, o también llamados “subproblemas”.

Al final, la suma o mejor dicho “superposición” de estos “subproblemas”, nos llevan al problema inicial. En otras fuentes este principio lo podrás encontrar como la propiedad aditiva de la linealidad.

Matemáticamente, esto se ve así:

f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2)

Conociendo ya de que trata este teorema, podemos saber cómo es aplicable en el análisis de circuitos eléctricos.

El teorema de superposición decreta que, en un circuito de naturaleza LINEAL, la tensión y la corriente para cualquier elemento o componente en el circuito es la suma de las tensiones y corrientes por cada fuente que trabaja de manera independiente.

  • ¡Ojo! Que este teorema solo es utilizable en los casos donde el circuito es lineal y con varias fuentes.

Recuerda: se puede decir que un circuito es lineal cuando en sus componentes la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de voltaje entre sus terminales.

A raíz de que hay muchos cálculos dentro del análisis de circuitos, debes conocer en que nos ayuda el teorema de superposición y que podemos lograr obtener de él. La principal ayuda que nos brinda este teorema, es que podemos saber el valor tanto de la corriente como del voltaje en cualquier rama de un circuito lineal alimentado ya sea por una fuente de energía, independientemente si es de corriente o de voltaje.

 

Funcionamiento del teorema de superposición

El funcionamiento de este teorema se basa en circuitos eléctricos lineales, el cual debe tener dos o más fuentes de alimentación. La influencia de estas fuentes sobre la impedancia es igual a la suma de la influencia o efecto individual de cada fuente, analizándolos por separado.

  • Para conocer la contribución de cada fuente por separado, se deben sustituir las fuentes de voltaje restantes por un cortocircuito y las fuentes de corriente por un circuito abierto.

Recuerda muy bien: las fuentes de voltaje se reemplazan por un cortocircuito y las fuentes de corriente por un circuito abierto.

En resumen, puedes entender el funcionamiento del teorema de superposición como si se tratara de extraer por partes un problema, solucionar individualmente esos problemas apartados y posteriormente sumarlos o, mejor dicho, “superposicionarlos”, ya que de esa manera podremos obtener la solución del problema original.

Es LO MISMO para los circuitos lineales; sin embargo, ya es hora de conozcas su análisis teórico para poder aplicarlo y obtener los datos que queramos en dichos circuitos.

 

Análisis teórico del teorema de superposición

Diagrama ejemplo para el análisis teórico del teorema de superposición

Imagina que te encuentras con este circuito, y necesitas conocer el voltaje de ese nodo; tal vez me dirás que puedes encontrarlo por medio de mallas de Kirchhoff (que no estaría mal), sin embargo, al usar este método tendrías muchísimos problemas con los números y las ecuaciones.

Y aquí es donde entra nuestro teorema al rescate, ya que este principio nos permite una solución más sencilla. ¿Cómo? Veámoslo.

  • Recordemos que el teorema de superposición establece que la influencia de dos o más fuentes en una impedancia es igual a la suma de cada influencia de cada fuente, tomadas individualmente.

Sin embargo, para conocer esa influencia individual, las fuentes restantes deben ser sustituidas ya sea por un cortocircuito si se tratase de una fuente de tensión, o por un circuito abierto si se tratase de una fuente de corriente.

Por ejemplo, si tienes n fuentes de corriente (I), si queremos encontrar el valor de una corriente especifica en el circuito, este valor lo podríamos obtener gracias a la suma de la influencia de cada fuente de corriente.

Matemáticamente, se ve de esta forma:

IT = f(I1, I2, I3, ... ,In)

IT = f(I1,0,0,…,0) + f(0,I2,0,…,0) + f(0,0,I3,…,0) + f(0,0,0,…,In )

De esta manera, podríamos solucionar el circuito ejemplo que viste anteriormente; solo basta con solucionar cada malla con su respectiva fuente, y las fuentes restantes se sustituyen por un circuito abierto o un cortocircuito. Esto es simplemente magnífico, porque ya no tendrías que realizar cálculos excesivos y hay bajas probabilidades de equivocarse.

Algunas expresiones que nos podrían ayudar a realizar los cálculos en cada malla, son las expresiones de la ley de ohm, divisor de corriente y divisor de voltaje. Te las dejo a continuación por si no las recuerdas, nos ayudarán mucho en los ejemplos.

Formulas para la división de tensión y corriente

 

Ejemplos y ejercicios del teorema de superposición

A continuación te dejo un par de ejercicios para que practiques lo que has aprendido, espero te sean de mucha ayuda, no olvides suscribirte al boletín para que te avise por correo cuando suba un nuevo post.

 

EJEMPLO #1

El primer ejercicio que haremos es exactamente igual al ejemplo que te he puesto anteriormente. El objetivo es calcular que voltaje hay en un nodo del circuito. ¡Atento!

Circuito para el ejemplo 1 de superposición

Como te mencione anteriormente, el objetivo es calcular el voltaje que se encuentra en el nodo resaltado con el circulo rojo utilizando teorema de suoperposición. Lo primero que haremos es identificar las fuentes del circuito.

  • Al existir dos fuentes, existen dos mallas en nuestro circuito.
  • Por lo que, debemos dividir este circuito en 2 partes para lograr saber la influencia de cada fuente de manera individual.
  • Y al final sumar los voltajes de cada fuente para encontrar el valor del voltaje total (VT) de ese nodo.

Identificación de nodos, fuentes y mallas del circuito ejemplo 1 del teorema de superposición

Solución del circuito #1:

  1. Elegimos una fuente del circuito por la que queramos empezar a calcular. En este caso, empezaremos por la fuente de 5v (malla 1). Recuerda que debes poner en cortocircuito la fuente restante. Esto nos quedaría de la siguiente manera:

Elegimos una fuente del circuito por la que queramos empezar a calcular

 

  1. Ya seleccionada nuestra fuente y reemplazando por cortocircuito la restante, empezamos a reducir el circuito sumando en serie R2 con R3:

Calculando resistencias del ejercicio 1

 

  1. Calculamos el voltaje individual del nodo para la fuente de 5v.

Puedes obtenerlo como puedas, pero debido a las dos resistencias intermedias, la manera más sencilla de hacerlo es por medio de un divisor de voltaje. A este primer voltaje le llamaremos V1 y R2-3 se representa en el divisor de voltaje como la segunda resistencia (R2).

Calculando el voltaje 1 en el ejercicio #1

La influencia individual de la fuente de 5v es de 4v.

 

  1. Calculamos la influencia de la fuente de 12v; para realizar esto, debemos poner en cortocircuito la fuente de 5v. El circuito nos queda de la siguiente manera.

Circuito ejercicio 1 paso 4

  1. Reducimos el circuito resultante sumando en serie R1 con R3.

R1-3 = 330Ω + 1KΩ

R1-3 = 1330Ω

 

Ejercicio 1 reducción

 

  1. Calculamos la influencia del voltaje en el nodo para la fuente de 12v. A este voltaje le llamaremos V2 y la resistencia R1-3 se representa en el divisor de voltaje como segunda resistencia (R2).

Ejercicio 1, calculando voltaje 2

La influencia individual de la fuente de 12v es de 9.61v.

 

  1. Ahora que ya tenemos ambos voltajes, el último paso es obtener el voltaje real o total (VT) del circuito, y eso lo obtenemos al sumar V1 con V2.

Ejercicio 1 calculando el voltaje total del circuito

Solución ejercicio #1

Conclusión: el voltaje que hay en ese nodo del circuito es de 13.61v

Circuito solución del ejercicio #1

Gracias al teorema de superposición, podemos resolver este tipo de circuitos sin tener que recurrir a métodos más complejos, siendo más rápidos en nuestros cálculos y evitando errores.

Recuerda que es FUNDAMENTAL que vayas por partes, ya que esa es la esencia de este teorema, puede parecerte largo, pero en realidad es demasiado fácil.

Ahora, continuemos con un segundo ejemplo, en donde tendremos que obtener el valor de la intensidad de corriente que pasa por una resistencia especifica.

 

EJEMPLO #2

En este ejemplo, nuestro objetivo es obtener la corriente que atraviesa la resistencia R4. Veamos el circuito.

Circuito ejemplo para el ejercicio 2

 

Puede parecerte abrumador, pero te aseguro que es muy sencillo. En este circuito tenemos nuevamente dos fuentes de alimentación; sin embargo, una es de voltaje (15v) y la otra es de corriente (17mA).

El procedimiento es similar al ejemplo anterior:

  1. Lo primero que tenemos que calcular, es la corriente que pasa por la resistencia R4 con la fuente de voltaje de 15v poniendo en circuito abierto la fuente de corriente.
  2. Posteriormente, realizamos lo mismo con la fuente de corriente de 17mA poniendo en corto la fuente de voltaje.
  3. Finalmente, sumamos o restamos las corrientes resultantes para obtener la intensidad final o total (IT).

La dirección de la corriente en la resistencia es muy importante, ya que al final del procedimiento es la que determinara si las corrientes se suman o se restan. Pero empecemos para que quede más claro.

 

Solución del circuito #2:

  1. Escogemos la fuente con la que queramos comenzar a calcular primero; en este caso, empezaremos por la fuente de voltaje de 15v poniendo en CIRCUITO ABIERTO a la fuente de corriente.

Escogemos la fuente con la que queramos comenzar a calcular primero; en este caso, empezaremos por la fuente de voltaje de 15v poniendo en CIRCUITO ABIERTO a la fuente de corriente

 

  1. Reducimos el circuito: sumamos en serie R1, R2 y R3, al igual que R4 y R5.

R1-2-3 = R1 + R2 + R3

R1-2-3 = 10KΩ + 1KΩ + 10KΩ

R1-2-3 = 21KΩ

R4-5 = R4 + R5

R4-5 = 12KΩ + 15KΩ

R4-5 = 27KΩ

Como referencia, el circuito nos queda de la siguiente manera:

Reducción circuito ejercicio 2 paso 2

¿Para qué queremos la reducción del circuito? La necesitamos para calcular la resistencia equivalente del circuito, ya que este dato nos servirá para calcular el voltaje que pasa por la resistencia R4, y posteriormente con ayuda de la ley de ohm, obtener el valor de la corriente que atraviesa dicha resistencia.

 

  1. Calculamos la resistencia equivalente del circuito.

Requ = 21KΩ + 27KΩ

Requ = 48KΩ

Aquí ya no es necesario dibujar el circuito, solo es necesario recordar el circuito inicial y que la resistencia a analizar es la R4 con 12KΩ.

 

  1. Calculamos el voltaje que atraviesa la resistencia R4 (12KΩ).

Calculando el voltaje que atraviesa la resistencia 4

 

  1. Calculamos la corriente que atraviesa la resistencia por medio de la ley de ohm. A esta corriente le llamaremos I1.

Calculando la corriente eléctrica que circula en la resistencia 4

La corriente que atraviesa la resistencia R4 gracias a la fuente de voltaje de 15v es de 0.31mA.

Ya tenemos la corriente por parte de la fuente de voltaje. Ahora debemos conocer la influencia por parte de la fuente de corriente.

 

  1. Ya obtenida la influencia de la fuente de voltaje, en el circuito original la colocamos en cortocircuito para conocer el efecto de la fuente de corriente.

Circuito ejercicio 2 paso 6, poniendo en corto la fuente de voltaje

 

  1. Como ya puedes darte cuenta, el siguiente paso consiste en reducir el circuito. Lo haremos como lo hicimos con la fuente de voltaje: sumamos en serie R1, R2 y R3, al igual que R4 y R5.

R1-2-3 = R1 + R2 + R3

R1-2-3 = 10KΩ + 1KΩ + 10KΩ

R1-2-3 = 21KΩ

R4-5 = R4 + R5

R4-5 = 12KΩ + 15KΩ

R4-5 = 27KΩ

El circuito nos queda de la siguiente manera:

Reducción circuito ejercicio #2 paso 7

Ya puedes irte dando cuenta del camino que está tomando esto. Pero para que te des una mejor idea, debemos reacomodar el circuito.

 

  1. Reacomodamos el circuito y determinamos el flujo de la corriente.

Reacomadando el circuito del ejercicio 2 despues de la reducción

 

¿Ya viste lo que tenemos aquí? Tenemos ni más ni menos que un divisor de corriente, ya que la fuente se divide entre las dos resistencias. Lo único que tenemos que conocer es cuanta corriente atraviesa la resistencia R4-5, la cual se representa como la resistencia principal (R1) y R1-2-3 como la resistencia secundaria (R2).

 

  1. Mediante el divisor de corriente, determinamos cuanta corriente atraviesa la resistencia R4-5 (27kΩ). A esta corriente la llamaremos I2.

Calculando corriente 2 en el ejercicio #2

 

  1. Debido a que la dirección de ambas corrientes es la misma, están se deben sumar para obtener la intensidad total que atraviesa la resistencia R4.

IT =  I1 + I2

IT = 0.31mA + 7.44mA

IT = 7.75mA

La corriente total que atraviesa la resistencia R4 (12KΩ) es de 7.75mA.

Solución al ejercicio #2

Y así, hemos resuelto los dos ejemplos completos sobre el teorema de superposición. ¿Viste que facilidad nos presta dividir el circuito en circuitos más simples? Es sin duda una herramienta poderosa para cuando necesitas conocer un voltaje o una corriente especifica en un circuito lineal complejo que tenga dos o más fuentes.

Recuerda que la potencia no se puede calcular con este método directamente, solo la corriente y el voltaje.

 

Aplicaciones del teorema de superposición

  • Como ya has visto gracias a los ejemplos prácticos, este teorema es una herramienta genial para cuando necesitamos conocer datos específicos en circuitos lineales con dos o más fuentes.
  • Este teorema lo puedes aplicar sin ningún problema en redes lineales con fuentes independientes y dependientes y elementos pasivos lineales, como resistencias, bobinas y capacitores.
  • También suele aplicarse en el análisis de transformadores lineales.
  • Otra aplicación más interesante que tiene el teorema de superposición, es en las señales no sinusoidales y su descomposición, esta descomposición consiste en la suma de señales sinusoidales.
  • En resumen, su aplicación en el análisis de circuitos consiste en obtener circuitos más sencillos y fáciles de manejar. 

 

¡Felicidades! Ahora conoces una herramienta más que puedes utilizar para analizar tus circuitos eléctricos lineales complejos sin tener que recurrir en métodos matemáticos más complejos.

El teorema de superposición llega al rescate para no cometer errores si necesitamos conocer datos específicos, como el voltaje o la corriente en zonas específicas de nuestro circuito.

Este método, como casi todos, se va mejorando con la práctica. Si en tu circuito puedes aplicar este teorema, no dudes en hacerlo.

No me despido de ti sin antes dejarte algunos puntos que valen la pena ser recordados:

  • Dicho teorema es una herramienta matemática aplicable solo en circuitos lineales con dos o más fuentes para conocer que influencia tienen estas en el circuito.
  • Recuerda que solo es aplicable en circuitos lineales con dos o más fuentes.
  • Al analizar el circuito con una fuente, las restantes se deben reemplazar por un cortocircuito (fuente de voltaje) o por un circuito abierto (fuente de corriente).
  • Al realizar el análisis matemático, te puede ayudar mucho las fórmulas de divisor de voltaje, de corriente y la ley de ohm.
  • Este teorema te ayuda muchísimo a simplificar tus circuitos y lograr un cálculo más eficiente y rápido.

Sin más, es hora de despedirnos. Recuerda jamás dejar de aprender y practicar mucho para que llegues a ser la/el mejor. Nos vemos en el próximo post.

 


Juan Carlos G

Electrónica y diseño web

Cree este blog para compartir uno de los temas que más me apasionan que es la electrónica, por lo tanto, además de tutoriales de electrónica, encontrarás en algunas páginas recomendaciones de productos relacionados a los LED principalmente.

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